微积分学示例

$\int_{- 2}^{- 1} 8 y^{3} + \frac{10}{y^{3}} d y$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{- 1} 8 y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} \frac{10}{y^{3}} d y$

解题步骤 2

由于 $8$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int_{- 2}^{- 1} y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} \frac{10}{y^{3}} d y$

解题步骤 3

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$8 (\frac{1}{4} y^{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} \frac{10}{y^{3}} d y$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $y^{4}$ 。

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} \frac{10}{y^{3}} d y$

解题步骤 5

由于 $10$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{y^{3}} d y$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $y^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 \int_{- 2}^{- 1} {(y^{3})}^{- 1} d y$

解题步骤 6.2

将 ${(y^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 \int_{- 2}^{- 1} y^{3 \cdot - 1} d y$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 \int_{- 2}^{- 1} y^{- 3} d y$

解题步骤 7

根据幂法则， $y^{- 3}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 。

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 (- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{- 2}^{- 1})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $y^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 (- \frac{y^{- 2}}{2}]_{- 2}^{- 1})$

解题步骤 8.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 2}$ 移动到分母。

$8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 10 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{y^{4}}{4}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$8 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 10 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

解题步骤 8.2.2

计算 $- \frac{1}{2 y^{2}}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$8 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3

化简。

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解题步骤 8.2.3.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$8 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.2

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$8 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.3

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.3.2.2

约去公因数。

$8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.3.2.3

重写表达式。

$8 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.3.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$8 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$8 (\frac{1}{4} - 4) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.5

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$8 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.6

组合 $- 4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$8 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.7

在公分母上合并分子。

$8 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.8

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.8.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$8 \frac{1 - 16}{4} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.8.2

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$8 (\frac{- 15}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.9

将负号移到分数的前面。

$8 (- \frac{15}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.10

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 (\frac{15}{4}) + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.11

组合 $- 8$ 和 $\frac{15}{4}$ 。

$\frac{- 8 \cdot 15}{4} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.12

将 $- 8$ 乘以 $15$ 。

$\frac{- 120}{4} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.13

约去 $- 120$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.13.1

从 $- 120$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 30}{4} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.13.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 30}{4 (1)} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.13.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 30}{4 \cdot 1} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.13.2.3

重写表达式。

$\frac{- 30}{1} + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.13.2.4

用 $- 30$ 除以 $1$ 。

$- 30 + 10 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.14

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 30 + 10 (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.15

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 30 + 10 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3.16

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 30 + 10 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 4})$

解题步骤 8.2.3.17

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- 30 + 10 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{8})$

解题步骤 8.2.3.18

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- 30 + 10 (- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8})$

解题步骤 8.2.3.19

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 8.2.3.19.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- 30 + 10 (- \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{8})$

解题步骤 8.2.3.19.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- 30 + 10 (- \frac{4}{8} + \frac{1}{8})$

解题步骤 8.2.3.20

在公分母上合并分子。

$- 30 + 10 \frac{- 4 + 1}{8}$

解题步骤 8.2.3.21

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$- 30 + 10 (\frac{- 3}{8})$

解题步骤 8.2.3.22

将负号移到分数的前面。

$- 30 + 10 (- \frac{3}{8})$

解题步骤 8.2.3.23

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- 30 - 10 (\frac{3}{8})$

解题步骤 8.2.3.24

组合 $- 10$ 和 $\frac{3}{8}$ 。

$- 30 + \frac{- 10 \cdot 3}{8}$

解题步骤 8.2.3.25

将 $- 10$ 乘以 $3$ 。

$- 30 + \frac{- 30}{8}$

解题步骤 8.2.3.26

约去 $- 30$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.26.1

从 $- 30$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 30 + \frac{2 (- 15)}{8}$

解题步骤 8.2.3.26.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.26.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 30 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 4}$

解题步骤 8.2.3.26.2.2

约去公因数。

$- 30 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 4}$

解题步骤 8.2.3.26.2.3

重写表达式。

$- 30 + \frac{- 15}{4}$

解题步骤 8.2.3.27

将负号移到分数的前面。

$- 30 - \frac{15}{4}$

解题步骤 8.2.3.28

要将 $- 30$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- 30 \cdot \frac{4}{4} - \frac{15}{4}$

解题步骤 8.2.3.29

组合 $- 30$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 30 \cdot 4}{4} - \frac{15}{4}$

解题步骤 8.2.3.30

在公分母上合并分子。

$\frac{- 30 \cdot 4 - 15}{4}$

解题步骤 8.2.3.31

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.31.1

将 $- 30$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 120 - 15}{4}$

解题步骤 8.2.3.31.2

从 $- 120$ 中减去 $15$ 。

$\frac{- 135}{4}$

解题步骤 8.2.3.32

将负号移到分数的前面。

$- \frac{135}{4}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{135}{4}$

小数形式：

$- 33.75$

带分数形式：

$- 33 \frac{3}{4}$

解题步骤 10

微积分学 示例

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