微积分学示例

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1}$

解题步骤 1.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

解题步骤 1.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.5

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.6

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.6.2

重写表达式。

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.1.2

用 $(A) (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.2

运用分配律。

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.3

将 $- 1$ 移到 $A$ 的左侧。

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.4

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.5

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.5.1

约去公因数。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.5.2

用 $(B) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

解题步骤 1.1.7.6

运用分配律。

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

解题步骤 1.1.7.7

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$1 = A x - A + B x + B$

解题步骤 1.1.8

移动 $- A$ 。

$1 = A x + B x - A + B$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = - 1 A + B$

解题步骤 1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $0 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $A + B = 0$ 。

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

解题步骤 1.3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- B$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $- B$ 替换 $1 = - 1 A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简 $- 1 (- B) + B$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

乘以 $- 1 (- B)$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.2

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

将 $B$ 和 $B$ 相加。

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

解题步骤 1.3.3

在 $1 = 2 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $2 B = 1$ 。

$2 B = 1$

$A = - B$

解题步骤 1.3.3.2

将 $2 B = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.2.1

将 $2 B = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $\frac{1}{2}$ 替换 $A = - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5

列出所有解。

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

解题步骤 1.5.3

将 $2$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

解题步骤 1.5.4

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 1.5.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{1}{x + 1} d x) + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u_{1} = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 + 1$

解题步骤 5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 3$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u_{1} = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 + 1$

解题步骤 5.5

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 5.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$- \frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 8

使 $u_{2} = x - 1$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{2} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u_{2} = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 - 1$

解题步骤 8.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u_{2} = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 - 1$

解题步骤 8.5

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 8.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\ln (| u_{1} |)$ 在 $4$ 处和在 $3$ 处的值。

$- \frac{1}{2} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

解题步骤 10.2

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$- \frac{1}{2} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.3

去掉圆括号。

$- \frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |}) + \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.2

组合 $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- \frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

解题步骤 11.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ 。

$- \frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2} + \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$- \frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2} + \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

解题步骤 12.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

解题步骤 12.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

解题步骤 12.4

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

解题步骤 12.5

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (2)}{2}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (2)}{2}$

小数形式：

$0.20273255 \dots$

解题步骤 14

微积分学 示例

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