微积分学示例

$\int_{- 2}^{2} (2 x + 5) - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{- 2}^{2} x d x + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - \int_{- 2}^{2} x^{2} + 2 x + 1 d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

解题步骤 10

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 \int_{- 2}^{2} x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

解题步骤 11

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} d x)$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} d x)$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + x]_{- 2}^{2})$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}$ 和 $x]_{- 2}^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

解题步骤 14.2

代入并化简。

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解题步骤 14.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

解题步骤 14.2.2

计算 $5 x$ 在 $2$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

解题步骤 14.2.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

解题步骤 14.2.4

计算 $\frac{x^{3}}{3} + x$ 在 $2$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5

化简。

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解题步骤 14.2.5.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.2.2.2

约去公因数。

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.2.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 (2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (2 - \frac{4}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.5.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.4.2.2

约去公因数。

$2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.4.2.3

重写表达式。

$2 (2 - \frac{2}{1}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 (2 - 1 \cdot 2) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (2 - 2) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.6

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.7

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.8

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$0 + 10 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.9

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$0 + 10 + 10 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.10

将 $10$ 和 $10$ 相加。

$0 + 20 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.11

将 $0$ 和 $20$ 相加。

$20 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.12

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$20 - (2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.13

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.5.13.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$20 - (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.13.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.13.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$20 - (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.13.2.2

约去公因数。

$20 - (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.13.2.3

重写表达式。

$20 - (2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.13.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$20 - (2 (2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.14

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$20 - (2 (2 - \frac{4}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.15

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.5.15.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$20 - (2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.15.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.15.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$20 - (2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.15.2.2

约去公因数。

$20 - (2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.15.2.3

重写表达式。

$20 - (2 (2 - \frac{2}{1}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.15.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$20 - (2 (2 - 1 \cdot 2) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.16

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$20 - (2 (2 - 2) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.17

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$20 - (2 \cdot 0 + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.18

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$20 - (0 + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.19

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 - (0 + \frac{8}{3} + 2 - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.20

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$20 - (0 + \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.21

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$20 - (0 + \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.22

在公分母上合并分子。

$20 - (0 + \frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.23

化简分子。

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解题步骤 14.2.5.23.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$20 - (0 + \frac{8 + 6}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.23.2

将 $8$ 和 $6$ 相加。

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.24

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (\frac{- 8}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.25

将负号移到分数的前面。

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (- \frac{8}{3} - 2))$

解题步骤 14.2.5.26

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (- \frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}))$

解题步骤 14.2.5.27

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (- \frac{8}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}))$

解题步骤 14.2.5.28

在公分母上合并分子。

$20 - (0 + \frac{14}{3} - \frac{- 8 - 2 \cdot 3}{3})$

解题步骤 14.2.5.29

化简分子。

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解题步骤 14.2.5.29.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$20 - (0 + \frac{14}{3} - \frac{- 8 - 6}{3})$

解题步骤 14.2.5.29.2

从 $- 8$ 中减去 $6$ 。

$20 - (0 + \frac{14}{3} - \frac{- 14}{3})$

解题步骤 14.2.5.30

将负号移到分数的前面。

$20 - (0 + \frac{14}{3} - - \frac{14}{3})$

解题步骤 14.2.5.31

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$20 - (0 + \frac{14}{3} + 1 (\frac{14}{3}))$

解题步骤 14.2.5.32

将 $\frac{14}{3}$ 乘以 $1$ 。

$20 - (0 + \frac{14}{3} + \frac{14}{3})$

解题步骤 14.2.5.33

在公分母上合并分子。

$20 - (0 + \frac{14 + 14}{3})$

解题步骤 14.2.5.34

将 $14$ 和 $14$ 相加。

$20 - (0 + \frac{28}{3})$

解题步骤 14.2.5.35

将 $0$ 和 $\frac{28}{3}$ 相加。

$20 - \frac{28}{3}$

解题步骤 14.2.5.36

要将 $20$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$20 \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3}$

解题步骤 14.2.5.37

组合 $20$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{20 \cdot 3}{3} - \frac{28}{3}$

解题步骤 14.2.5.38

在公分母上合并分子。

$\frac{20 \cdot 3 - 28}{3}$

解题步骤 14.2.5.39

化简分子。

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解题步骤 14.2.5.39.1

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$\frac{60 - 28}{3}$

解题步骤 14.2.5.39.2

从 $60$ 中减去 $28$ 。

$\frac{32}{3}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{32}{3}$

小数形式：

$10.\overline{6}$

带分数形式：

$10 \frac{2}{3}$

解题步骤 16

微积分学 示例

微积分学示例