微积分学示例

$\int_{2}^{3} - x^{2} + 5 x - 6 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{3} - x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

解题步骤 5

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 6 d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 6 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + - 6 x]_{2}^{3}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + - 6 x]_{2}^{3}$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + - 6 x]_{2}^{3}$

解题步骤 9.3

计算 $- 6 x$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.2

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.2.2.2

约去公因数。

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.2.2.3

重写表达式。

$- (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.2.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$- (9 - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- (9 - \frac{8}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.4

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.5

组合 $9$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.6

在公分母上合并分子。

$- \frac{9 \cdot 3 - 8}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.7

化简分子。

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解题步骤 9.4.7.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{27 - 8}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.7.2

从 $27$ 中减去 $8$ 。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.10

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.10.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.10.2.2

约去公因数。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.10.2.3

重写表达式。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.10.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.11

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - 2) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.12

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.13

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.14

在公分母上合并分子。

$- \frac{19}{3} + 5 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.15

化简分子。

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解题步骤 9.4.15.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{19}{3} + 5 \frac{9 - 4}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.15.2

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{5}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.16

组合 $5$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$- \frac{19}{3} + \frac{5 \cdot 5}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.17

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{19}{3} + \frac{25}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.18

要将 $- \frac{19}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.19

要将 $\frac{25}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.20

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 9.4.20.1

将 $\frac{19}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{19 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.20.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{19 \cdot 2}{6} + \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.20.3

将 $\frac{25}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{19 \cdot 2}{6} + \frac{25 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.20.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{19 \cdot 2}{6} + \frac{25 \cdot 3}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.21

在公分母上合并分子。

$\frac{- 19 \cdot 2 + 25 \cdot 3}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.22

化简分子。

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解题步骤 9.4.22.1

将 $- 19$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 38 + 25 \cdot 3}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.22.2

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 38 + 75}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.22.3

将 $- 38$ 和 $75$ 相加。

$\frac{37}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.23

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{37}{6} - 18 + 6 \cdot 2$

解题步骤 9.4.24

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{37}{6} - 18 + 12$

解题步骤 9.4.25

将 $- 18$ 和 $12$ 相加。

$\frac{37}{6} - 6$

解题步骤 9.4.26

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{37}{6} - 6 \cdot \frac{6}{6}$

解题步骤 9.4.27

组合 $- 6$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{37}{6} + \frac{- 6 \cdot 6}{6}$

解题步骤 9.4.28

在公分母上合并分子。

$\frac{37 - 6 \cdot 6}{6}$

解题步骤 9.4.29

化简分子。

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解题步骤 9.4.29.1

将 $- 6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{37 - 36}{6}$

解题步骤 9.4.29.2

从 $37$ 中减去 $36$ 。

$\frac{1}{6}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{6}$

小数形式：

$0.1\overline{6}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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