微积分学示例

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

解题步骤 6

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

计算 $\ln (| x |)$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

解题步骤 6.1.2

计算 $- x^{- 1}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.1.3.2

一的任意次幂都为一。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1)$

解题步骤 6.1.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

解题步骤 6.1.3.4

在公分母上合并分子。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 4}{4}$

解题步骤 6.1.3.5

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{3}{4}$

解题步骤 6.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

解题步骤 6.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\ln (\frac{4}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

解题步骤 6.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{4}{1}) - \frac{3}{4}$

解题步骤 6.3.3

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

小数形式：

$0.63629436 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例