微积分学示例

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

解题步骤 2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{1}^{4} x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

解题步骤 5

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

解题步骤 8

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

解题步骤 12.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + x]_{1}^{4}$

解题步骤 12.4

计算 $x$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 (\frac{256}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.2

约去 $256$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.2.1

从 $256$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.2.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.2.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{64}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.2.2.4

用 $64$ 除以 $1$ 。

$4 (64 - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.3

一的任意次幂都为一。

$4 (64 - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.4

要将 $64$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$4 (64 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.5

组合 $64$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$4 (\frac{64 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.6

在公分母上合并分子。

$4 \frac{64 \cdot 4 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.7

化简分子。

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解题步骤 12.5.7.1

将 $64$ 乘以 $4$ 。

$4 \frac{256 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.7.2

从 $256$ 中减去 $1$ 。

$4 (\frac{255}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.8

组合 $4$ 和 $\frac{255}{4}$ 。

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.9

将 $4$ 乘以 $255$ 。

$\frac{1020}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.10

约去 $1020$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.10.1

从 $1020$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.10.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.10.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 255}{4 (1)} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.10.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 255}{4 \cdot 1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.10.2.3

重写表达式。

$\frac{255}{1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.10.2.4

用 $255$ 除以 $1$ 。

$255 - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.11

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.12

一的任意次幂都为一。

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.13

在公分母上合并分子。

$255 - 2 \frac{64 - 1}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.14

从 $64$ 中减去 $1$ 。

$255 - 2 (\frac{63}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.15

约去 $63$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.15.1

从 $63$ 中分解出因数 $3$ 。

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.15.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.15.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.15.2.2

约去公因数。

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.15.2.3

重写表达式。

$255 - 2 (\frac{21}{1}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.15.2.4

用 $21$ 除以 $1$ 。

$255 - 2 \cdot 21 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.16

将 $- 2$ 乘以 $21$ 。

$255 - 42 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.17

从 $255$ 中减去 $42$ 。

$213 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.18

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$213 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.19

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.19.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.19.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.19.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.19.2.2

约去公因数。

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.19.2.3

重写表达式。

$213 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.19.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$213 + 3 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.20

一的任意次幂都为一。

$213 + 3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.21

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$213 + 3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.22

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$213 + 3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.23

在公分母上合并分子。

$213 + 3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 - 1$

解题步骤 12.5.24

化简分子。

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解题步骤 12.5.24.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$213 + 3 \frac{16 - 1}{2} + 4 - 1$

解题步骤 12.5.24.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$213 + 3 (\frac{15}{2}) + 4 - 1$

解题步骤 12.5.25

组合 $3$ 和 $\frac{15}{2}$ 。

$213 + \frac{3 \cdot 15}{2} + 4 - 1$

解题步骤 12.5.26

将 $3$ 乘以 $15$ 。

$213 + \frac{45}{2} + 4 - 1$

解题步骤 12.5.27

要将 $213$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$213 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

解题步骤 12.5.28

组合 $213$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{213 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

解题步骤 12.5.29

在公分母上合并分子。

$\frac{213 \cdot 2 + 45}{2} + 4 - 1$

解题步骤 12.5.30

化简分子。

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解题步骤 12.5.30.1

将 $213$ 乘以 $2$ 。

$\frac{426 + 45}{2} + 4 - 1$

解题步骤 12.5.30.2

将 $426$ 和 $45$ 相加。

$\frac{471}{2} + 4 - 1$

解题步骤 12.5.31

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{471}{2} + 3$

解题步骤 12.5.32

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{471}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 12.5.33

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{471}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 12.5.34

在公分母上合并分子。

$\frac{471 + 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 12.5.35

化简分子。

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解题步骤 12.5.35.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{471 + 6}{2}$

解题步骤 12.5.35.2

将 $471$ 和 $6$ 相加。

$\frac{477}{2}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{477}{2}$

小数形式：

$238.5$

带分数形式：

$238 \frac{1}{2}$

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例