微积分学示例

$\int_{1}^{4} 5 y \sqrt{y} + 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} 5 y \cdot y^{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

移动 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y) + 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 1.2.2

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + 1} + 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 1.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 3

由于 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{1}^{4} y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 4

根据幂法则， $y^{\frac{3}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ 。

$5 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 5

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $y^{\frac{5}{2}}$ 。

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

解题步骤 6

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} \sqrt{y} d y$

解题步骤 7

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y$

解题步骤 8

根据幂法则， $y^{\frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ 。

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $y^{\frac{3}{2}}$ 。

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$5 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$5 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$5 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.3.1

约去公因数。

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.3.2

重写表达式。

$5 (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$5 (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.5

将 $2$ 乘以 $32$ 。

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.6

一的任意次幂都为一。

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.8

在公分母上合并分子。

$5 \frac{64 - 2}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.9

从 $64$ 中减去 $2$ 。

$5 (\frac{62}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.10

组合 $5$ 和 $\frac{62}{5}$ 。

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.11

将 $5$ 乘以 $62$ 。

$\frac{310}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.12

约去 $310$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.12.1

从 $310$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.12.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 62}{5 (1)} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.12.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 62}{5 \cdot 1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.12.2.3

重写表达式。

$\frac{62}{1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.12.2.4

用 $62$ 除以 $1$ 。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.13

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.14

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.15.1

约去公因数。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.15.2

重写表达式。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.16

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.17

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.18

一的任意次幂都为一。

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

解题步骤 9.2.3.19

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 9.2.3.20

在公分母上合并分子。

$62 + 3 \frac{16 - 2}{3}$

解题步骤 9.2.3.21

从 $16$ 中减去 $2$ 。

$62 + 3 (\frac{14}{3})$

解题步骤 9.2.3.22

组合 $3$ 和 $\frac{14}{3}$ 。

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

解题步骤 9.2.3.23

将 $3$ 乘以 $14$ 。

$62 + \frac{42}{3}$

解题步骤 9.2.3.24

约去 $42$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.24.1

从 $42$ 中分解出因数 $3$ 。

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

解题步骤 9.2.3.24.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.24.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

解题步骤 9.2.3.24.2.2

约去公因数。

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3.24.2.3

重写表达式。

$62 + \frac{14}{1}$

解题步骤 9.2.3.24.2.4

用 $14$ 除以 $1$ 。

$62 + 14$

解题步骤 9.2.3.25

将 $62$ 和 $14$ 相加。

$76$

解题步骤 10

微积分学 示例

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