微积分学示例

$\int_{1}^{4} (1 - u) \sqrt{u} d u$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} (1 - u) u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2

展开 $(1 - u) u^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\int_{1}^{4} 1 u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.2

将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3

提取负因数。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) d u$

解题步骤 2.4

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) d u$

解题步骤 2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{1 + \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2 + 1}{2}} d u$

解题步骤 2.8

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.6

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{16 - 2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.10

从 $16$ 中减去 $2$ 。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.11

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.12

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.13

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.13.1

约去公因数。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.13.2

重写表达式。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.14

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.15

将 $2$ 乘以 $32$ 。

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.16

一的任意次幂都为一。

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5})$

解题步骤 7.2.3.17

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

解题步骤 7.2.3.18

在公分母上合并分子。

$\frac{14}{3} - \frac{64 - 2}{5}$

解题步骤 7.2.3.19

从 $64$ 中减去 $2$ 。

$\frac{14}{3} - \frac{62}{5}$

解题步骤 7.2.3.20

要将 $\frac{14}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5}$

解题步骤 7.2.3.21

要将 $- \frac{62}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.3.22

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.22.1

将 $\frac{14}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.3.22.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.3.22.3

将 $\frac{62}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.22.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{15}$

解题步骤 7.2.3.23

在公分母上合并分子。

$\frac{14 \cdot 5 - 62 \cdot 3}{15}$

解题步骤 7.2.3.24

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.24.1

将 $14$ 乘以 $5$ 。

$\frac{70 - 62 \cdot 3}{15}$

解题步骤 7.2.3.24.2

将 $- 62$ 乘以 $3$ 。

$\frac{70 - 186}{15}$

解题步骤 7.2.3.24.3

从 $70$ 中减去 $186$ 。

$\frac{- 116}{15}$

解题步骤 7.2.3.25

将负号移到分数的前面。

$- \frac{116}{15}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{116}{15}$

小数形式：

$- 7.7\overline{3}$

带分数形式：

$- 7 \frac{11}{15}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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