微积分学示例

$\int_{1}^{4} - \frac{4}{x} d x$

解题步骤 1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{4} \frac{4}{x} d x$

解题步骤 2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- (4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- 4 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

计算 $\ln (| x |)$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$- 4 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 5.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- 4 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$- 4 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

解题步骤 5.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- 4 \ln (\frac{4}{1})$

解题步骤 5.3.3

用 $4$ 除以 $1$ 。

$- 4 \ln (4)$

$- 4 \ln (4)$

$- 4 \ln (4)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$- 4 \ln (2^{2})$

解题步骤 6.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$- 4 (2 \ln (2))$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 8 \ln (2)$

$- 8 \ln (2)$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 8 \ln (2)$

小数形式：

$- 5.54517744 \dots$

解题步骤 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$