微积分学示例

$\int_{1}^{4} \frac{t^{8} - t^{4}}{t^{6}} d t$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

化简。

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解题步骤 1.1.1

从 $t^{8} - t^{4}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $t^{8}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} t^{4} - t^{4}}{t^{6}} d t$

解题步骤 1.1.1.2

从 $- t^{4}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1}{t^{6}} d t$

解题步骤 1.1.1.3

从 $t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{6}} d t$

解题步骤 1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

从 $t^{6}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

解题步骤 1.1.2.2

约去公因数。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

解题步骤 1.1.2.3

重写表达式。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} - 1}{t^{2}} d t$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1

通过将 $t^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

解题步骤 1.2.2

将 ${(t^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

解题步骤 1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) t^{- 2} d t$

解题步骤 2

乘以 $(t^{4} - 1) t^{- 2}$ 。

$\int_{1}^{4} t^{4} t^{- 2} - 1 t^{- 2} d t$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{4} t^{4 - 2} - 1 t^{- 2} d t$

解题步骤 3.1.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\int_{1}^{4} t^{2} - 1 t^{- 2} d t$

解题步骤 3.2

将 $- 1 t^{- 2}$ 重写为 $- t^{- 2}$ 。

$\int_{1}^{4} t^{2} - t^{- 2} d t$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} t^{2} d t + \int_{1}^{4} - t^{- 2} d t$

解题步骤 5

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - t^{- 2} d t$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} t^{- 2} d t$

解题步骤 7

根据幂法则， $t^{- 2}$ 对 $t$ 的积分是 $- t^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} - (- t^{- 1}]_{1}^{4})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{1}{3} t^{3}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- t^{- 1}]_{1}^{4})$

解题步骤 8.2

计算 $- t^{- 1}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $64$ 。

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{64 - 1}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.6

从 $64$ 中减去 $1$ 。

$\frac{63}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.7

约去 $63$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.7.1

从 $63$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 21}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{21}{1} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.7.2.4

用 $21$ 除以 $1$ 。

$21 - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$21 - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.3.9

一的任意次幂都为一。

$21 - (- \frac{1}{4} + 1)$

解题步骤 8.3.10

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$21 - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

解题步骤 8.3.11

在公分母上合并分子。

$21 - \frac{- 1 + 4}{4}$

解题步骤 8.3.12

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$21 - \frac{3}{4}$

解题步骤 8.3.13

要将 $21$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$21 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

解题步骤 8.3.14

组合 $21$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{21 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

解题步骤 8.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{21 \cdot 4 - 3}{4}$

解题步骤 8.3.16

化简分子。

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解题步骤 8.3.16.1

将 $21$ 乘以 $4$ 。

$\frac{84 - 3}{4}$

解题步骤 8.3.16.2

从 $84$ 中减去 $3$ 。

$\frac{81}{4}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{81}{4}$

小数形式：

$20.25$

带分数形式：

$20 \frac{1}{4}$

解题步骤 10

微积分学 示例

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