微积分学示例

$\int_{1}^{32} \sqrt[5]{x} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$\int_{1}^{32} x^{\frac{1}{5}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{\frac{1}{5}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ 。

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}]_{1}^{32}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ 在 $32$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{5}{6} \cdot 32^{\frac{6}{5}}) - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $32$ 重写为 $2^{5}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot {(2^{5})}^{\frac{6}{5}} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot 2^{5 (\frac{6}{5})} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{5}{6} \cdot 2^{5 (\frac{6}{5})} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.3.2

重写表达式。

$\frac{5}{6} \cdot 2^{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.4

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{5}{6} \cdot 64 - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.5

组合 $\frac{5}{6}$ 和 $64$ 。

$\frac{5 \cdot 64}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.6

将 $5$ 乘以 $64$ 。

$\frac{320}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.7

约去 $320$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.1

从 $320$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (160)}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.7.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 160}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 160}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6} \cdot 1$

解题步骤 3.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6}$

解题步骤 3.2.10

要将 $\frac{160}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{160}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{6}$

解题步骤 3.2.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.2.11.1

将 $\frac{160}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{160 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6}$

解题步骤 3.2.11.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{160 \cdot 2}{6} - \frac{5}{6}$

解题步骤 3.2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{160 \cdot 2 - 5}{6}$

解题步骤 3.2.13

化简分子。

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解题步骤 3.2.13.1

将 $160$ 乘以 $2$ 。

$\frac{320 - 5}{6}$

解题步骤 3.2.13.2

从 $320$ 中减去 $5$ 。

$\frac{315}{6}$

解题步骤 3.2.14

约去 $315$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.14.1

从 $315$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (105)}{6}$

解题步骤 3.2.14.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.14.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 105}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.2.14.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 105}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.2.14.2.3

重写表达式。

$\frac{105}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{105}{2}$

小数形式：

$52.5$

带分数形式：

$52 \frac{1}{2}$

解题步骤 5

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