微积分学示例

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} - n^{- 3} d n$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $n$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{1}^{3} n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

解题步骤 3

根据幂法则， $n^{- 2}$ 对 $n$ 的积分是 $- n^{- 1}$ 。

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $n$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - \int_{1}^{3} n^{- 3} d n$

解题步骤 5

根据幂法则， $n^{- 3}$ 对 $n$ 的积分是 $- \frac{1}{2} n^{- 2}$ 。

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2} n^{- 2}]_{1}^{3})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 $n^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{n^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

解题步骤 6.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $n^{- 2}$ 移动到分母。

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $- n^{- 1}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

解题步骤 6.2.2

计算 $- \frac{1}{2 n^{2}}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 6.2.3

化简。

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解题步骤 6.2.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$5 (- \frac{1}{3} + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

一的任意次幂都为一。

$5 (- \frac{1}{3} + 1) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 6.2.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 6.2.3.4

在公分母上合并分子。

$5 \frac{- 1 + 3}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 6.2.3.5

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$5 (\frac{2}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 6.2.3.6

组合 $5$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{5 \cdot 2}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 6.2.3.7

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 6.2.3.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 6.2.3.9

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 6.2.3.10

一的任意次幂都为一。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.3.11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.3.12

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

解题步骤 6.2.3.13

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $18$ 的形式。

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解题步骤 6.2.3.13.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

解题步骤 6.2.3.13.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

解题步骤 6.2.3.14

在公分母上合并分子。

$\frac{10}{3} - \frac{- 1 + 9}{18}$

解题步骤 6.2.3.15

将 $- 1$ 和 $9$ 相加。

$\frac{10}{3} - \frac{8}{18}$

解题步骤 6.2.3.16

约去 $8$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.16.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{2 (4)}{18}$

解题步骤 6.2.3.16.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.16.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.3.16.2.2

约去公因数。

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.3.16.2.3

重写表达式。

$\frac{10}{3} - \frac{4}{9}$

解题步骤 6.2.3.17

要将 $\frac{10}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{9}$

解题步骤 6.2.3.18

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 6.2.3.18.1

将 $\frac{10}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9}$

解题步骤 6.2.3.18.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{10 \cdot 3}{9} - \frac{4}{9}$

解题步骤 6.2.3.19

在公分母上合并分子。

$\frac{10 \cdot 3 - 4}{9}$

解题步骤 6.2.3.20

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.20.1

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$\frac{30 - 4}{9}$

解题步骤 6.2.3.20.2

从 $30$ 中减去 $4$ 。

$\frac{26}{9}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{26}{9}$

小数形式：

$2.\overline{8}$

带分数形式：

$2 \frac{8}{9}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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