微积分学示例

$\int_{1}^{3} w^{2} - 4 w + 5 d w$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{3} w^{2} d w + \int_{1}^{3} - 4 w d w + \int_{1}^{3} 5 d w$

解题步骤 2

根据幂法则， $w^{2}$ 对 $w$ 的积分是 $\frac{1}{3} w^{3}$ 。

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 4 w d w + \int_{1}^{3} 5 d w$

解题步骤 3

由于 $- 4$ 对于 $w$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 \int_{1}^{3} w d w + \int_{1}^{3} 5 d w$

解题步骤 4

根据幂法则， $w$ 对 $w$ 的积分是 $\frac{1}{2} w^{2}$ 。

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{1}{2} w^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d w$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $w^{2}$ 。

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d w$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 5 w]_{1}^{3}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{3}$ 和 $5 w]_{1}^{3}$ 。

$\frac{1}{3} w^{3} + 5 w]_{1}^{3} - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{1}{3} w^{3} + 5 w$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 (\frac{w^{2}}{2}]_{1}^{3})$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{w^{2}}{2}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $27$ 。

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.5

将 $9$ 和 $15$ 相加。

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.6

一的任意次幂都为一。

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.8

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$24 - (\frac{1}{3} + 5) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.9

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.10

组合 $5$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$24 - (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.11

在公分母上合并分子。

$24 - \frac{1 + 5 \cdot 3}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.12

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.12.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$24 - \frac{1 + 15}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.12.2

将 $1$ 和 $15$ 相加。

$24 - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.13

要将 $24$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.14

组合 $24$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{24 \cdot 3 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.16

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.16.1

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$\frac{72 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.16.2

从 $72$ 中减去 $16$ 。

$\frac{56}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.17

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18

一的任意次幂都为一。

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.3.19

在公分母上合并分子。

$\frac{56}{3} - 4 \frac{9 - 1}{2}$

解题步骤 7.2.3.20

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{8}{2})$

解题步骤 7.2.3.21

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.21.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

解题步骤 7.2.3.21.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.21.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

解题步骤 7.2.3.21.2.2

约去公因数。

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.21.2.3

重写表达式。

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{4}{1})$

解题步骤 7.2.3.21.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{56}{3} - 4 \cdot 4$

解题步骤 7.2.3.22

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{56}{3} - 16$

解题步骤 7.2.3.23

要将 $- 16$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{56}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.3.24

组合 $- 16$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{56}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

解题步骤 7.2.3.25

在公分母上合并分子。

$\frac{56 - 16 \cdot 3}{3}$

解题步骤 7.2.3.26

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.26.1

将 $- 16$ 乘以 $3$ 。

$\frac{56 - 48}{3}$

解题步骤 7.2.3.26.2

从 $56$ 中减去 $48$ 。

$\frac{8}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{8}{3}$

小数形式：

$2.\overline{6}$

带分数形式：

$2 \frac{2}{3}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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