微积分学示例

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

使 $u = - 4 x$ 。然后使 $d u = - 4 d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = - 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $- 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = - 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 4 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = - 4$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = - 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 4 \cdot 2$

解题步骤 3.5

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = - 8$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 8$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$2 \int_{- 4}^{- 8} - \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- 2 (\frac{1}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 8.2

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 8.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 8.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 11

应用指数的基本规则。

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解题步骤 11.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 11.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 11.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $e^{u}$ 在 $- 8$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

解题步骤 13.2

计算 $- x^{- 1}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.3

化简。

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解题步骤 13.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

解题步骤 13.3.2

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1)$

解题步骤 13.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

解题步骤 13.3.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{- 1 + 2}{2}$

解题步骤 13.3.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 13.3.6

要将 $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 13.3.7

组合 $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 13.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 13.3.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 (\frac{1}{2}) (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

解题步骤 13.3.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{- 2}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

解题步骤 13.3.11

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.11.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

解题步骤 13.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

解题步骤 13.3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

解题步骤 13.3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{- 1}{1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

解题步骤 13.3.11.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)}{2}$

解题步骤 14.2

从 $- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

解题步骤 14.3

将 $- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ 重写为 $- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ 。

$\frac{- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

解题步骤 14.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

小数形式：

$- 0.49100991 \dots$

解题步骤 16

微积分学 示例

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