微积分学示例

$\int \sin^{5} (4 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 4 x$ 。然后使 $d u_{1} = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 4 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\sin^{5} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\int \frac{\sin^{5} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

因式分解出 $\sin^{4} (u_{1})$ 。

$\frac{1}{4} \int \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5.2

将 ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\frac{1}{4} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (u_{1})$ 重写成 $1 - \cos^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{4} \int {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 7

使 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

设 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

对 $\cos (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

解题步骤 7.1.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1})$

解题步骤 7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} \int - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (- \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9

展开 ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ 。

$\frac{1}{4} (- \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} (- \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

解题步骤 9.4

运用分配律。

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

解题步骤 9.5

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

解题步骤 9.6

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.7

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (- \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.11

将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

解题步骤 9.13

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

解题步骤 9.14

从 $- {u_{2}}^{2}$ 中减去 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

解题步骤 9.15

将 $- 2 {u_{2}}^{2}$ 和 ${u_{2}}^{4}$ 重新排序。

$\frac{1}{4} (- \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.16

移动 $1$ 。

$\frac{1}{4} (- \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (- (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

解题步骤 11

根据幂法则， ${u_{2}}^{4}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ 。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

解题步骤 12

由于 $- 2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

解题步骤 13

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}))$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C))$

解题步骤 15

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

解题步骤 15.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 ${u_{2}}^{5}$ 。

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

解题步骤 15.2

化简。

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2})) + C$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

使用 $\cos (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \cos^{3} (u_{1})}{3} + \cos (u_{1}))) + C$

解题步骤 16.2

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (4 x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (4 x)}{3} + \cos (4 x))) + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} \cos^{5} (4 x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (4 x) + \cos (4 x))) + C$

微积分学 示例

微积分学示例