微积分学示例

$\int_{1}^{2} t^{5} - t^{3} + 1 d t$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{2} t^{5} d t + \int_{1}^{2} - t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

解题步骤 2

根据幂法则， $t^{5}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{6} t^{6}$ 。

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{3}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{4} t^{4}$ 。

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d t$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $t^{4}$ 。

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d t$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2}) + t]_{1}^{2}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2}$ 和 $t]_{1}^{2}$ 。

$\frac{1}{6} t^{6} + t]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{1}{6} t^{6} + t$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{6} \cdot 2^{6} + 2) - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2})$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{t^{4}}{4}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{6} \cdot 2^{6} + 2) - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{1}{6} \cdot 64 + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.2

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $64$ 。

$\frac{64}{6} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.3

约去 $64$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.3.1

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (32)}{6} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{32}{3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.4

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{32}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.5

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{32}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{32 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.7

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.7.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{32 + 6}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.7.2

将 $32$ 和 $6$ 相加。

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.9

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.10

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} + \frac{6}{6}) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.11

在公分母上合并分子。

$\frac{38}{3} - \frac{1 + 6}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.12

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{38}{3} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.13

要将 $\frac{38}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{38}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.14

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.14.1

将 $\frac{38}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{38 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.14.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{38 \cdot 2}{6} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{38 \cdot 2 - 7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.16

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.16.1

将 $38$ 乘以 $2$ 。

$\frac{76 - 7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.16.2

从 $76$ 中减去 $7$ 。

$\frac{69}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.17

约去 $69$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.17.1

从 $69$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (23)}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.17.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.17.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 23}{3 \cdot 2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.17.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 23}{3 \cdot 2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.17.2.3

重写表达式。

$\frac{23}{2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.18

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{23}{2} - (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.19

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.19.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.19.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.19.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.19.2.2

约去公因数。

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.19.2.3

重写表达式。

$\frac{23}{2} - (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.19.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{23}{2} - (4 - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 7.2.3.20

一的任意次幂都为一。

$\frac{23}{2} - (4 - \frac{1}{4})$

解题步骤 7.2.3.21

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{23}{2} - (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

解题步骤 7.2.3.22

组合 $4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

解题步骤 7.2.3.23

在公分母上合并分子。

$\frac{23}{2} - \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

解题步骤 7.2.3.24

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.24.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{23}{2} - \frac{16 - 1}{4}$

解题步骤 7.2.3.24.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$\frac{23}{2} - \frac{15}{4}$

解题步骤 7.2.3.25

要将 $\frac{23}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{23}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{4}$

解题步骤 7.2.3.26

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.26.1

将 $\frac{23}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{23 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{15}{4}$

解题步骤 7.2.3.26.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{23 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4}$

解题步骤 7.2.3.27

在公分母上合并分子。

$\frac{23 \cdot 2 - 15}{4}$

解题步骤 7.2.3.28

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.28.1

将 $23$ 乘以 $2$ 。

$\frac{46 - 15}{4}$

解题步骤 7.2.3.28.2

从 $46$ 中减去 $15$ 。

$\frac{31}{4}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{31}{4}$

小数形式：

$7.75$

带分数形式：

$7 \frac{3}{4}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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