微积分学示例

$\int_{- 1}^{1} e^{u + 1} d u$

解题步骤 1

使 $u_{1} = u + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d u$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = u + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d u}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $u + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u} [u + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $u + 1$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ 。

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $1$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = u + 1$ 中的 $u$ 。

$u_{lower} = - 1 + 1$

解题步骤 1.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = u + 1$ 中的 $u$ 。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{2} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 2

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{u_{1}}]_{0}^{2}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $e^{u_{1}}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(e^{2}) - e^{0}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{2} - 1$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e^{2} - 1$

小数形式：

$6.38905609 \dots$

解题步骤 5

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