微积分学示例

$\int_{0.3}^{1.1} x^{3} \cot (x^{4}) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = {0.3}^{2}$

解题步骤 1.3

对 $0.3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{lower} = 0.09$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = {1.1}^{2}$

解题步骤 1.5

对 $1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 1.21$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0.09$

$u_{upper} = 1.21$

解题步骤 1.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 重写为 ${u_{1}}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{1}$ 。

$\int_{0.09}^{1.21} \frac{u_{1}}{2} \cot ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{u_{1}}{2}$ 和 $\cot ({u_{1}}^{2})$ 。

$\int_{0.09}^{1.21} \frac{u_{1} \cot ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 ${u_{1}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1}$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = {0.09}^{2}$

解题步骤 4.3

对 $0.09$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{lower} = 0.0081$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = {1.21}^{2}$

解题步骤 4.5

对 $1.21$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 1.4641$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0.0081$

$u_{upper} = 1.4641$

解题步骤 4.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5

组合 $\cot (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \frac{\cot (u_{2})}{2} d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ 。

$\frac{1}{4} \ln (| \sin (u_{2}) |)]_{0.0081}^{1.4641}$

解题步骤 9

计算 $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ 在 $1.4641$ 处和在 $0.0081$ 处的值。

$\frac{1}{4} (\ln (| \sin (1.4641) |) - \ln (| \sin (0.0081) |))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})}{4}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})}{4}$

小数形式：

$2.21460382 \dots$

微积分学 示例

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