微积分学示例

$\int_{0}^{π} x \cos (3 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (3 x)$ 。

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sin (3 x)$ 。

$x \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{\sin (3 x)}{3}$ 。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (3 x) d x)$

解题步骤 4

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

解题步骤 4.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 π$

解题步骤 4.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

解题步骤 4.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 5

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

解题步骤 7.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

解题步骤 8

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

解题步骤 9.2

计算 $- \cos (u)$ 在 $3 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.2

将 $0$ 乘以 $\sin (0)$ 。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.3

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.5

将 $\frac{π \sin (3 π)}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.6

要将 $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 9.3.7

组合 $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + \frac{- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.3.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{π \sin (3 π) - 3 (\frac{1}{9}) (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

解题步骤 9.3.10

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 3}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

解题步骤 9.3.11

约去 $- 3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.11.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 (- 1)}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

解题步骤 9.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.11.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

解题步骤 9.3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

解题步骤 9.3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

解题步骤 9.3.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

解题步骤 10

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

解题步骤 11.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{π \sin (0) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

解题步骤 11.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π \cdot 0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

解题步骤 11.4

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

解题步骤 11.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)}{3}$

解题步骤 11.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)}{3}$

解题步骤 11.7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{3}$

解题步骤 11.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - 1 + 1)}{3}$

解题步骤 11.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (1 + 1)}{3}$

解题步骤 11.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0 - \frac{1}{3} \cdot 2}{3}$

解题步骤 11.11

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 11.11.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0 - 2 (\frac{1}{3})}{3}$

解题步骤 11.11.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{0 + \frac{- 2}{3}}{3}$

解题步骤 11.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{0 - \frac{2}{3}}{3}$

解题步骤 11.13

从 $0$ 中减去 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{- \frac{2}{3}}{3}$

解题步骤 11.14

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 11.15

乘以 $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 11.15.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{2}{3 \cdot 3}$

解题步骤 11.15.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{2}{9}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{2}{9}$

小数形式：

$- 0.\overline{2}$

微积分学 示例

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