微积分学示例

$\int_{0}^{π} \sin (4 x) d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

解题步骤 1.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 π$

解题步骤 1.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

解题步骤 1.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{4} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

解题步骤 4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

解题步骤 5

计算 $- \cos (u)$ 在 $4 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + \cos (0))$

解题步骤 6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

解题步骤 7.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (- 1 + 1)$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot 0$

解题步骤 7.5

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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