微积分学示例

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

解题步骤 1

使 $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ 。然后使 $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ ，以便 $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + \cos (7 t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + \cos (7 t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = 7 t$ 。

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解题步骤 1.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $7 t$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

解题步骤 1.1.3.1.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

解题步骤 1.1.3.1.3

使用 $7 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

解题步骤 1.1.3.2

因为 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $7 t$ 对 $t$ 的导数是 $7 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

解题步骤 1.1.3.5

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 7 \sin (7 t)$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $7 \sin (7 t)$ 。

$- 7 \sin (7 t)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

解题步骤 1.3.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

解题步骤 1.5.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

解题步骤 1.5.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

解题步骤 2.2

组合 ${u_{2}}^{2}$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 5

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 在 $0$ 处和在 $2$ 处的值。

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

解题步骤 6.2.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

解题步骤 6.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

解题步骤 6.2.4

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 6.2.5

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

解题步骤 6.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

解题步骤 6.2.7

从 $0$ 中减去 $\frac{8}{3}$ 。

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

解题步骤 6.2.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

解题步骤 6.2.9

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

解题步骤 6.2.10

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{8}{3}$ 。

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.11

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8}{21}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{8}{21}$

小数形式：

$0.\overline{380952}$

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