微积分学示例

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

解题步骤 2

使 $u_{1} = 4 u + 1$ 。然后使 $d u_{1} = 4 d u$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = 4 u + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d u}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $4 u + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $4 u + 1$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ 。

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d u} [4 u]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $4$ 对于 $u$ 是常数，所以 $4 u$ 对 $u$ 的导数是 $4 \frac{d}{d u} [u]$ 。

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $1$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{1} = 4 u + 1$ 中的 $u$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 2.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u_{1} = 4 u + 1$ 中的 $u$ 。

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 8 + 1$

解题步骤 2.5.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 2.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

解题步骤 3

组合 $\sqrt{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 6

根据幂法则， ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

约去公因数。

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.3.2

重写表达式。

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $27$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.6

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.7

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.7.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.7.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 7.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

解题步骤 7.2.10

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 7.2.11

组合 $18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 7.2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

解题步骤 7.2.13

化简分子。

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解题步骤 7.2.13.1

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

解题步骤 7.2.13.2

从 $54$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

解题步骤 7.2.14

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{52}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.15

将 $3$ 乘以 $52$ 。

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.16

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{156}{12}$

解题步骤 7.2.17

约去 $156$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.17.1

从 $156$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

解题步骤 7.2.17.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.17.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

解题步骤 7.2.17.2.2

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.17.2.3

重写表达式。

$\frac{13}{1}$

解题步骤 7.2.17.2.4

用 $13$ 除以 $1$ 。

$13$

解题步骤 8

微积分学 示例

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