微积分学示例

$\int_{0}^{5} 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{0}^{5} \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 \int_{0}^{5} x^{\frac{2}{3}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{5})$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

$4 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{5})$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$4 ((\frac{3 \cdot 5^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $5^{1}$ 移动到分子。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{5}{3}} \cdot 5^{- 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 4.2.2.2

通过指数相加将 $5^{\frac{5}{3}}$ 乘以 $5^{- 1}$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1

移动 $5^{- 1}$ 。

$4 (3 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{5}{3}}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 4.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (3 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 4.2.2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (3 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 4.2.2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 4.2.2.2.5

在公分母上合并分子。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 4.2.2.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 3 + 5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 4.2.2.2.6.2

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 4.2.2.3

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 4.2.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

解题步骤 4.2.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.5.1

约去公因数。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

解题步骤 4.2.2.5.2

重写表达式。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

解题步骤 4.2.2.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

解题步骤 4.2.2.7

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{0}{5})$

解题步骤 4.2.2.8

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 (0)}{5})$

解题步骤 4.2.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.8.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.2.8.2.2

约去公因数。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.2.8.2.3

重写表达式。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{0}{1})$

解题步骤 4.2.2.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - 0)$

解题步骤 4.2.2.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} + 0)$

解题步骤 4.2.2.10

将 $3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 4.2.2.11

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$12 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

小数形式：

$35.08821285 \dots$

解题步骤 6

微积分学 示例

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