微积分学示例

$\int_{0}^{\ln (3)} 3 e^{3 x} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{0}^{\ln (3)} e^{3 x} d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 \ln (3)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (3)$ 。

$u_{upper} = \ln (3^{3})$

解题步骤 2.5.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{upper} = \ln (27)$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (27)$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 \int_{0}^{\ln (27)} \frac{e^{u}}{3} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

解题步骤 5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$1 \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

解题步骤 5.3

将 $\int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{u}]_{0}^{\ln (27)}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $e^{u}$ 在 $\ln (27)$ 处和在 $0$ 处的值。

$(e^{\ln (27)}) - e^{0}$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$27 - e^{0}$

解题步骤 7.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$27 - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$27 - 1$

解题步骤 7.2.4

从 $27$ 中减去 $1$ 。

$26$

解题步骤 8

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