微积分学示例

$\int_{0}^{\ln (2)} 2 e^{3 x} d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{\ln (2)} e^{3 x} d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 \ln (2)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (2)$ 。

$u_{upper} = \ln (2^{3})$

解题步骤 2.5.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{upper} = \ln (8)$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$2 \int_{0}^{\ln (8)} \frac{e^{u}}{3} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{2}{3} e^{u}]_{0}^{\ln (8)}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $e^{u}$ 在 $\ln (8)$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{2}{3} ((e^{\ln (8)}) - e^{0})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{2}{3} (8 - e^{0})$

解题步骤 7.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{2}{3} (8 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 7.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} (8 - 1)$

解题步骤 7.2.4

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 7$

解题步骤 7.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $7$ 。

$\frac{2 \cdot 7}{3}$

解题步骤 7.2.6

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{14}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{14}{3}$

小数形式：

$4.\overline{6}$

带分数形式：

$4 \frac{2}{3}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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