微积分学示例

$\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[4]{1 + x}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + x$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 8$

解题步骤 1.5

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{4}}$ 。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

解题步骤 2.2

通过将 $u^{\frac{1}{4}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3

将 ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{4}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{4}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ 。

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{9}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{4}{3} \cdot 9^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $9^{\frac{3}{4}}$ 。

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 4.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

小数形式：

$5.59486989 \dots$

解题步骤 6

微积分学 示例

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