微积分学示例

$\int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x) d x$

解题步骤 1

将 $2$ 移到 ${(x^{2} + 1)}^{10}$ 的左侧。

$\int_{0}^{1} 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

解题步骤 3

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 3.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 3.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4

组合 $u^{10}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{2} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

解题步骤 6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

解题步骤 6.3

将 $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{10}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{11} u^{11}$ 。

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{1}{11} u^{11}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

对 $2$ 进行 $11$ 次方运算。

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

解题步骤 8.2.2

组合 $\frac{1}{11}$ 和 $2048$ 。

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

解题步骤 8.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

解题步骤 8.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

解题步骤 8.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2048 - 1}{11}$

解题步骤 8.2.6

从 $2048$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2047}{11}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2047}{11}$

小数形式：

$186.\overline{09}$

带分数形式：

$186 \frac{1}{11}$

解题步骤 10

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