微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{4} - 1$ 。然后使 $d u = 4 x^{3} d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = x^{4} - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $x^{4} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{4} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{4} - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{4} - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

解题步骤 2.2

将 $4$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

解题步骤 5

计算 $\ln (| u |)$ 在 $0$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

解题步骤 7.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

解题步骤 7.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (0)}{4}$

解题步骤 7.4

零的自然对数无定义。

无定义

$\frac{\ln (0)}{4}$

解题步骤 8

零的自然对数无定义。

无定义

微积分学 示例

微积分学示例