微积分学示例

$\int_{0}^{1} v^{2} \cos (v^{3}) d v$

解题步骤 1

使 $u = v^{3}$ 。然后使 $d u = 3 v^{2} d v$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = v^{2} d v$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = v^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d v}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $v^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d v} [v^{3}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 v^{2}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = v^{3}$ 中的 $v$ 。

$u_{lower} = 0^{3}$

解题步骤 1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = v^{3}$ 中的 $v$ 。

$u_{upper} = 1^{3}$

解题步骤 1.5

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{\cos (u)}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \cos (u) d u$

解题步骤 4

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{1}$

解题步骤 5

计算 $\sin (u)$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{3} (\sin (1) - \sin (0))$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} (\sin (1) - 0)$

解题步骤 6.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} (\sin (1) + 0)$

解题步骤 6.3

将 $\sin (1)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} \sin (1)$

解题步骤 6.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sin (1)$ 。

$\frac{\sin (1)}{3}$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

计算 $\sin (1)$ 。

$\frac{0.84147098}{3}$

解题步骤 7.2

用 $0.84147098$ 除以 $3$ 。

$0.28049032$

微积分学 示例

微积分学示例