微积分学示例

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} - 4 x + 8 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

解题步骤 5

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 8 d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 8 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 8 x]_{0}^{1}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 8 x]_{0}^{1}$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 8 x]_{0}^{1}$

解题步骤 9.3

计算 $8 x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

一的任意次幂都为一。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.3

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.3.2.2

约去公因数。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.3.2.3

重写表达式。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$5 (\frac{1}{3} - 0) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$5 (\frac{1}{3} + 0) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.5

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$5 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.6

组合 $5$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.9

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.9.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.9.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.9.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.9.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - 0) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} + 0) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.11

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.12

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{5}{3} + \frac{- 4}{2} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.13

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.13.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.13.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.13.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.13.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.13.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{3} + \frac{- 2}{1} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.13.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{5}{3} - 2 + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.14

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.15

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.16

在公分母上合并分子。

$\frac{5 - 2 \cdot 3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.17

化简分子。

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解题步骤 9.4.17.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5 - 6}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.17.2

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- 1}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.18

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.19

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3} + 8 - 8 \cdot 0$

解题步骤 9.4.20

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{3} + 8 + 0$

解题步骤 9.4.21

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{3} + 8$

解题步骤 9.4.22

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 9.4.23

组合 $8$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.4.24

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 8 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.4.25

化简分子。

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解题步骤 9.4.25.1

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 1 + 24}{3}$

解题步骤 9.4.25.2

将 $- 1$ 和 $24$ 相加。

$\frac{23}{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{23}{3}$

小数形式：

$7.\overline{6}$

带分数形式：

$7 \frac{2}{3}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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