微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (y) d y$

解题步骤 1

$\sec (y)$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ 。

$\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

计算 $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\ln (| \sec (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

$\sec (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 2.2.2

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 2.2.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

解题步骤 2.2.4

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

解题步骤 2.2.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 2.2.6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.1.1.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.2.6.4.1

约去公因数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6.4.2

重写表达式。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.1.2.6.5

计算指数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.3

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.4.1

约去公因数。

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.4.2

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\ln (\frac{| \sqrt{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.1.5

$\sqrt{3}$ 约为 $1.7320508$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{| 1 |})$

解题步骤 2.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{1})$

解题步骤 2.3.3

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\ln (\sqrt{3})$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (\sqrt{3})$

小数形式：

$0.54930614 \dots$

微积分学 示例

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