微积分学示例

$\int_{0}^{t^{10}} \sqrt[5]{u} d u$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{5}}$ 。

$\int_{0}^{t^{10}} u^{\frac{1}{5}} d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u^{\frac{1}{5}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}}$ 。

$\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}}]_{0}^{t^{10}}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}}$ 在 $t^{10}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{5}{6} {(t^{10})}^{\frac{6}{5}}) - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 ${(t^{10})}^{\frac{6}{5}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{6} t^{10 (\frac{6}{5})} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5}{6} t^{5 (2) \frac{6}{5}} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{6} t^{5 \cdot 2 \frac{6}{5}} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{6} t^{2 \cdot 6} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.1.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot {(0^{5})}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 3.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}$

解题步骤 3.2.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}$

解题步骤 3.2.4.2

重写表达式。

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{6}$

解题步骤 3.2.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0$

解题步骤 3.2.6

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5}{6} t^{12} + 0 (\frac{5}{6})$

解题步骤 3.2.7

将 $0$ 乘以 $\frac{5}{6}$ 。

$\frac{5}{6} t^{12} + 0$

解题步骤 3.2.8

将 $\frac{5}{6} t^{12}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{6} t^{12}$

解题步骤 4

组合 $\frac{5}{6}$ 和 $t^{12}$ 。

$\frac{5 t^{12}}{6}$

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