微积分学示例

$\int_{0}^{\sqrt{21}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + 4$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2} + 4$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 4$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2} + 4$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = {\sqrt{21}}^{2} + 4$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 ${\sqrt{21}}^{2}$ 重写为 $21$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{21}$ 重写成 $21^{\frac{1}{2}}$ 。

$u_{upper} = {(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4$

解题步骤 1.5.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = 21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4$

解题步骤 1.5.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u_{upper} = 21^{\frac{2}{2}} + 4$

解题步骤 1.5.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.4.1

约去公因数。

$u_{upper} = 21^{\frac{2}{2}} + 4$

解题步骤 1.5.1.4.2

重写表达式。

$u_{upper} = 21^{1} + 4$

解题步骤 1.5.1.5

计算指数。

$u_{upper} = 21 + 4$

解题步骤 1.5.2

将 $21$ 和 $4$ 相加。

$u_{upper} = 25$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\int_{4}^{25} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{25}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $25$ 处和在 $4$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.4

计算指数。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 6.2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.8.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 6.2.8.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{1})$

解题步骤 6.2.9

计算指数。

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2)$

解题步骤 6.2.10

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (10 - 4)$

解题步骤 6.2.11

从 $10$ 中减去 $4$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 6$

解题步骤 6.2.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$\frac{6}{2}$

解题步骤 6.2.13

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.13.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2}$

解题步骤 6.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.13.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

解题步骤 6.2.13.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.13.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{1}$

解题步骤 6.2.13.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3$

解题步骤 7

微积分学 示例

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