微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 1

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$- x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 4

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$- x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $- x]_{0}^{\frac{π}{4}}$ 和 $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ 。

$- x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $- x + \tan (x)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0))$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0))$

解题步骤 5.2.2.2

将 $0$ 和 $\tan (0)$ 相加。

$- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0)$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0)$

解题步骤 5.3.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{π}{4} + 1 - 0$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{π}{4} + 1 + 0$

解题步骤 5.3.4

将 $- \frac{π}{4} + 1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{π}{4} + 1$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{π}{4} + 1$

小数形式：

$0.21460183 \dots$

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