微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{5} (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 1.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\sin^{5} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{5} (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

因式分解出 $\sin^{4} (u_{1})$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5.2

将 ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (u_{1})$ 重写成 $1 - \cos^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 7

使 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $\cos (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

解题步骤 7.1.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1})$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 7.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 7.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 7.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{0} - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9

展开 ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 9.1

将 ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ 。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

解题步骤 9.4

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

解题步骤 9.5

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

解题步骤 9.6

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.7

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.11

将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

解题步骤 9.13

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

解题步骤 9.14

从 $- {u_{2}}^{2}$ 中减去 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

解题步骤 9.15

将 $- 2 {u_{2}}^{2}$ 和 ${u_{2}}^{4}$ 重新排序。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9.16

移动 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (- (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

解题步骤 11

根据幂法则， ${u_{2}}^{4}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ 。

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{5}$ 和 ${u_{2}}^{5}$ 。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

解题步骤 13

由于 $- 2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

解题步骤 14

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

解题步骤 15

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

解题步骤 16

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u_{2}]_{1}^{0}))$

解题步骤 17

组合 $\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0}$ 和 $u_{2}]_{1}^{0}$ 。

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

解题步骤 18

代入并化简。

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解题步骤 18.1

计算 $\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

解题步骤 18.2

计算 $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3

化简。

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解题步骤 18.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.2

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 18.3.2.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.7

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.8

从 $0$ 中减去 $\frac{6}{5}$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.10

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 18.3.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.10.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.10.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3})))$

解题步骤 18.3.11

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3})))$

解题步骤 18.3.12

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3})))$

解题步骤 18.3.13

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3})))$

解题步骤 18.3.14

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3}))$

解题步骤 18.3.15

要将 $- \frac{6}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}))$

解题步骤 18.3.16

要将 $\frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

解题步骤 18.3.17

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 18.3.17.1

将 $\frac{6}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

解题步骤 18.3.17.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

解题步骤 18.3.17.3

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}))$

解题步骤 18.3.17.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}))$

解题步骤 18.3.18

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15})$

解题步骤 18.3.19

化简分子。

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解题步骤 18.3.19.1

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15})$

解题步骤 18.3.19.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 10}{15})$

解题步骤 18.3.19.3

将 $- 18$ 和 $10$ 相加。

$\frac{1}{2} (- \frac{- 8}{15})$

解题步骤 18.3.20

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (- - \frac{8}{15})$

解题步骤 18.3.21

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (1 (\frac{8}{15}))$

解题步骤 18.3.22

将 $\frac{8}{15}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{15}$

解题步骤 18.3.23

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{8}{15}$ 。

$\frac{8}{2 \cdot 15}$

解题步骤 18.3.24

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$\frac{8}{30}$

解题步骤 18.3.25

约去 $8$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.25.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4)}{30}$

解题步骤 18.3.25.2

约去公因数。

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解题步骤 18.3.25.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

解题步骤 18.3.25.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

解题步骤 18.3.25.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{15}$

解题步骤 19

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4}{15}$

小数形式：

$0.2\overline{6}$

微积分学 示例

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