微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

解题步骤 1

使

$u = 3 t$ 。然后使

$d u = 3 d t$ ，以便

$\frac{1}{3} d u = d t$ 。使用

$u$ 和

$d$

$u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设

$u = 3 t$ 。求

$\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对

$3 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 1.1.2

因为

$3$ 对于

$t$ 是常数，所以

$3 t$ 对

$t$ 的导数是

$3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于

$n t^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$3$

$3$

解题步骤 1.2

将下限代入替换

$u = 3 t$ 中的

$t$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

解题步骤 1.3

将

$3$ 乘以

$0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换

$u = 3 t$ 中的

$t$ 。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

解题步骤 1.5

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$u_{upper} = π$

$u_{upper} = π$

解题步骤 1.6

求得的

$u_{lower}$ 和

$u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

解题步骤 1.7

使用

$u$ 、

$d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合

$\sin (u)$ 和

$\frac{1}{3}$ 。

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

解题步骤 3

由于

$\frac{1}{3}$ 对于

$u$ 是常数，所以将

$\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

解题步骤 4

$\sin (u)$ 对

$u$ 的积分为

$- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

解题步骤 5

计算

$- \cos (u)$ 在

$π$ 处和在

$0$ 处的值。

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

解题步骤 6

$\cos (0)$ 的准确值为

$1$ 。

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

解题步骤 7.2

$\cos (0)$ 的准确值为

$1$ 。

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

解题步骤 7.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

解题步骤 7.4

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

解题步骤 7.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot 2$

解题步骤 7.6

组合

$\frac{1}{3}$ 和

$2$ 。

$\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3}$

小数形式：

$0.\overline{6}$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

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^

^

×

×

>

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



π

π



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

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

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1

1

2

2

3

3

-

-

+

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÷

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<

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

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∞

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

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!

!



,

,

0

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.

.

%

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

=

=









$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$