微积分学示例

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

解题步骤 1

使 $u = 3 x + 8$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = 3 x + 8$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $3 x + 8$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{11}$ 。

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

解题步骤 3.2

将 $\frac{u}{3}$ 乘以 $\frac{u^{11}}{3}$ 。

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

解题步骤 3.3

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $11$ 相加。

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

解题步骤 3.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

解题步骤 3.7

组合 $- \frac{8}{3}$ 和 $\frac{u^{11}}{3}$ 。

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

解题步骤 3.8

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{12}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{13} u^{13}$ 。

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

解题步骤 8

由于 $\frac{8}{9}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{8}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{11}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{12} u^{12}$ 。

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

解题步骤 10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

化简。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

解题步骤 10.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{1}{13}$ 。

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $9$ 乘以 $13$ 。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

解题步骤 10.2.3

将 $\frac{1}{12}$ 乘以 $\frac{8}{9}$ 。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

解题步骤 10.2.4

将 $12$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

解题步骤 10.2.5

约去 $8$ 和 $108$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

解题步骤 10.2.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.5.2.1

从 $108$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

解题步骤 10.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

解题步骤 10.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

解题步骤 11

使用 $3 x + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$

微积分学 示例

微积分学示例