微积分学示例

$16 p \int_{0}^{5} {(1 - \frac{x}{5})}^{2} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - \frac{x}{5}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{5} d x$ ，以便 $- 5 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - \frac{x}{5}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - \frac{x}{5}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{5}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - \frac{x}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- \frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - \frac{1}{5} \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{1}{5}$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{1}{5}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 - \frac{x}{5}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - \frac{0}{5}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

用 $0$ 除以 $5$ 。

$u_{lower} = 1 - 0$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 - \frac{x}{5}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1.1

约去公因数。

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

解题步骤 1.5.1.1.2

重写表达式。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{1}{5}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

解题步骤 2.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{5}$ 。

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} (1 \cdot 5) d u$

解题步骤 2.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \cdot 5 d u$

解题步骤 2.4

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$16 p \int_{1}^{0} - 5 u^{2} d u$

解题步骤 3

由于 $- 5$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$16 p (- 5 \int_{1}^{0} u^{2} d u)$

解题步骤 4

将 $- 5$ 乘以 $16$ 。

$- 80 p \int_{1}^{0} u^{2} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- 80 p \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$- 80 p \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{u^{3}}{3}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$- 80 p ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 80 p (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.2

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 80 p (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.2.2.2

约去公因数。

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.2.2.3

重写表达式。

$- 80 p (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 80 p (0 - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.3

一的任意次幂都为一。

$- 80 p (0 - \frac{1}{3})$

解题步骤 7.2.4

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{3}$ 。

$- 80 p (- \frac{1}{3})$

解题步骤 7.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 80$ 。

$80 p \frac{1}{3}$

解题步骤 7.2.6

组合 $80$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$p \frac{80}{3}$

解题步骤 7.2.7

组合 $p$ 和 $\frac{80}{3}$ 。

$\frac{p \cdot 80}{3}$

解题步骤 7.2.8

将 $80$ 移到 $p$ 的左侧。

$\frac{80 p}{3}$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{80}{3} p$

解题步骤 9

组合 $\frac{80}{3}$ 和 $p$ 。

$\frac{80 p}{3}$

解题步骤 10

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