微积分学示例

$\int x \arctan (7 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arctan (7 x)$ ， $d v = x$ 。

$\arctan (7 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\arctan (7 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\arctan (7 x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{7}{49 x^{2} + 1}$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 7}{49 x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 4.2

将 $7$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{7 x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (7 \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - 7 (\frac{1}{2}) \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- 7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7

用 $x^{2}$ 除以 $49 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 7.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$49 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 7.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $49 x^{2}$ 。

							$\frac{1}{49}$
	$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 7.3

将新的商式项乘以除数。

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$\frac{1}{49}$

解题步骤 7.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0 + \frac{1}{49}$ 中的所有符号

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$

解题步骤 7.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$
									-	$\frac{1}{49}$

解题步骤 7.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{1}{49} - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\int \frac{1}{49} d x + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \int \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{49}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{49}$ 移到积分外。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - (\frac{1}{49} \int \frac{1}{49 x^{2} + 1} d x))$

解题步骤 12

将 $49 x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{1 + 49 x^{2}} d x)$

解题步骤 13

从 $1 + 49 x^{2}$ 中分解出因数 $49$ 。

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解题步骤 13.1

从 $1$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 x^{2}} d x)$

解题步骤 13.2

从 $49 x^{2}$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})} d x)$

解题步骤 13.3

从 $49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49} + x^{2})} d x)$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{49}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{49}$ 移到积分外。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} (\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

将 $\frac{1}{49}$ 乘以 $\frac{1}{49}$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49 \cdot 49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

解题步骤 15.2

将 $49$ 乘以 $49$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

解题步骤 16

将 $\frac{1}{49}$ 重写为 ${(\frac{1}{7})}^{2}$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}} d x)$

解题步骤 17

$\frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

化简。

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解题步骤 18.1.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{7}$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (1 \cdot 7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

解题步骤 18.1.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

解题步骤 18.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{7}$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (x \cdot 7) + C))$

解题步骤 18.1.4

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (7 x) + C))$

解题步骤 18.2

化简。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) + C$

解题步骤 18.3

化简。

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解题步骤 18.3.1

要将 $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 18.3.2

组合 $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 18.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 18.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 2 (\frac{7}{2}) (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.3.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{7}{2}$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.3.6

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 14}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.3.7

约去 $- 14$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.7.1

从 $- 14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 18.3.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 7}{1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.3.7.2.4

用 $- 7$ 除以 $1$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.4

化简。

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解题步骤 18.4.1

运用分配律。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.4.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 18.4.2.1

从 $- 7$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 (- 1) \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.4.2.2

从 $49$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.4.2.3

约去公因数。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.4.2.4

重写表达式。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

解题步骤 18.4.3

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 18.4.3.1

将 $- \frac{\arctan (7 x)}{343}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

解题步骤 18.4.3.2

从 $- 7$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 (- 1) \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

解题步骤 18.4.3.3

从 $343$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

解题步骤 18.4.3.4

约去公因数。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

解题步骤 18.4.3.5

重写表达式。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - \frac{- \arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

解题步骤 18.4.4

化简每一项。

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解题步骤 18.4.4.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - - \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

解题步骤 18.4.4.2

乘以 $- - \frac{\arctan (7 x)}{49}$ 。

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解题步骤 18.4.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 1 \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

解题步骤 18.4.4.2.2

将 $\frac{\arctan (7 x)}{49}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

解题步骤 19

重新排序项。

$\frac{1}{2} (\arctan (7 x) x^{2} - \frac{1}{7} x + \frac{1}{49} \arctan (7 x)) + C$

微积分学 示例

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