微积分学示例

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.3

组合 $e^{- x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.5

求微分。

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解题步骤 1.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 1.5.3

化简表达式。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 1.5.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 1.5.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

解题步骤 1.5.3.4

重新排序项。

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

解题步骤 1.6

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

解题步骤 1.7.2

化简每一项。

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解题步骤 1.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

解题步骤 1.7.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

解题步骤 1.7.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

解题步骤 1.7.2.4

乘以 $- \frac{1}{e} \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.7.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

解题步骤 1.7.2.4.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{e}$ 。

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

解题步骤 1.7.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 1}$ 移动到分母。

$0 + \frac{1}{e}$

解题步骤 1.7.3

将 $0$ 和 $\frac{1}{e}$ 相加。

$\frac{1}{e}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{1}{e}$ 和给定点 $(1, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.2

化简 $\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.2.2

组合 $\frac{1}{e}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $\frac{1}{e}$ 和 $- 1$ 。

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

解题步骤 2.3.2.4

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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