微积分学示例

$\int p {(p + 8)}^{7} d p$

解题步骤 1

使 $u = p + 8$ 。然后使 $d u = d p$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = p + 8$ 。求 $\frac{d u}{d p}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $p + 8$ 求导。

$\frac{d}{d p} [p + 8]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $p + 8$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [8]$ 。

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [8]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d p} [8]$

解题步骤 1.1.4

因为 $8$ 对于 $p$ 是常数，所以 $8$ 对 $p$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (u - 8) u^{7} d u$

解题步骤 2

乘以 $(u - 8) u^{7}$ 。

$\int u \cdot u^{7} - 8 u^{7} d u$

解题步骤 3

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{7}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $u$ 乘以 $u^{7}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{7} - 8 u^{7} d u$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + 7} - 8 u^{7} d u$

解题步骤 3.2

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$\int u^{8} - 8 u^{7} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{8} d u + \int - 8 u^{7} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{8}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{9} u^{9}$ 。

$\frac{1}{9} u^{9} + C + \int - 8 u^{7} d u$

解题步骤 6

由于 $- 8$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 8$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} u^{9} + C - 8 \int u^{7} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{7}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{8} u^{8}$ 。

$\frac{1}{9} u^{9} + C - 8 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

化简。

$\frac{1}{9} u^{9} - 8 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$

解题步骤 8.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{1}{9} u^{9} + \frac{- 8}{8} u^{8} + C$

解题步骤 8.2.2

约去 $- 8$ 和 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{1}{9} u^{9} + \frac{8 \cdot - 1}{8} u^{8} + C$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{1}{9} u^{9} + \frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} u^{8} + C$

解题步骤 8.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{9} u^{9} + \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} u^{8} + C$

解题步骤 8.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{9} u^{9} + \frac{- 1}{1} u^{8} + C$

解题步骤 8.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{9} u^{9} - u^{8} + C$

解题步骤 9

使用 $p + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{9} {(p + 8)}^{9} - {(p + 8)}^{8} + C$

微积分学 示例

微积分学示例