微积分学示例

$\int t \sin^{2} (t) d t$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = \sin^{2} (t)$ 。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - \int \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\int \frac{1}{2} t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} \int t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

解题步骤 4

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

解题步骤 5

由于 $- \frac{1}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{4}$ 移到积分外。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (2 t) d t)$

解题步骤 6

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 6.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t$ 。

$t (\frac{t}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 8.2

组合 $\sin (2 t)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 9

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

解题步骤 10.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

解题步骤 10.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{t^{2}}{2} - t \frac{\sin (2 t)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

组合 $\frac{\sin (2 t)}{4}$ 和 $t$ 。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

解题步骤 10.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{t^{2}}{2}$ 。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

解题步骤 10.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

解题步骤 10.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{8}) \cos (u)) + C$

解题步骤 10.3.5

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{1}{8} \cos (u)) + C$

解题步骤 10.3.6

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $\cos (u)$ 。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) + C$

解题步骤 10.3.7

要将 $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

解题步骤 10.3.8

组合 $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} + \frac{- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 10.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 10.3.10

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

解题步骤 11

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (2 t)}{8})}{4} + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

解题步骤 12.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 (- 1) \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

解题步骤 12.2.2

约去公因数。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 \cdot - 1 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

解题步骤 12.2.3

重写表达式。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

解题步骤 12.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 (- 1) \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

解题步骤 12.3.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

解题步骤 12.3.3

约去公因数。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

解题步骤 12.3.4

重写表达式。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

从 $- \sin (2 t) t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

解题步骤 13.2

从 $- t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - (t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

解题步骤 13.3

从 $- (\sin (2 t) t) - (t^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

解题步骤 13.4

从 $- \frac{\cos (2 t)}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

解题步骤 13.5

从 $- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

解题步骤 13.6

将 $- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ 重写为 $- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ 。

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

解题步骤 13.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

解题步骤 13.8

将 $- \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4}$ 中的因式重新排序。

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

解题步骤 13.9

重新排序项。

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{4} (t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 t)) + C$

微积分学 示例

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