微积分学示例

$\int \sin (x) \cdot \sqrt{1 - \cos (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - \cos (x)$ 。然后使 $d u = \sin (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - \cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 - - \sin (x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 \sin (x)$

解题步骤 1.1.3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$0 + \sin (x)$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\sin (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 4

使用 $1 - \cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(1 - \cos (x))}^{\frac{3}{2}} + C$

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