微积分学示例

$\int \sin (π x) \cos (π x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \sin (π x)$ 。然后使 $d u_{2} = π \cos (π x) d x$ ，以便 $\frac{1}{π} d u_{2} = \cos (π x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \sin (π x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (π x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $π x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (π x) (π \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\cos (π x) π$

解题步骤 1.1.3.3.2

重新排序 $\cos (π x) π$ 的因式。

$π \cos (π x)$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int u_{2} \frac{1}{π} d u_{2}$

解题步骤 2

组合 $u_{2}$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$\int \frac{u_{2}}{π} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$\frac{1}{π} \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 4

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 重写为 $\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{1}{π}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{π \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{1}{2 π} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 6

使用 $\sin (π x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 π} \sin^{2} (π x) + C$

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