微积分学示例

$\int arccsc (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = arccsc (x)$ ， $d v = 1$ 。

$arccsc (x) x - \int x (- \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ 。

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$arccsc (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$arccsc (x) x - - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$arccsc (x) x + 1 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 4.2

将 $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$ 乘以 $1$ 。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 5

使 $x = \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

化简 $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ 。

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解题步骤 6.1.1

使用勾股恒等式。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 6.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 6.2

约去 $\tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $\sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $\tan (t)$ 。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$arccsc (x) x + \int \sec (t) d t$

解题步骤 7

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

解题步骤 8

使用 $arcsec (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$

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