微积分学示例

$\int arccot (x) d x$

解题步骤 1

利用公式

$\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中

$u = arccot (x)$ ，

$d v = 1$ 。

$arccot (x) x - \int x (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

解题步骤 2

组合

$x$ 和

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$arccot (x) x - \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3

由于

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$- 1$ 移到积分外。

$arccot (x) x - - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$arccot (x) x + 1 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

将

$\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$ 乘以

$1$ 。

$arccot (x) x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 5

使

$u = 1 + x^{2}$ 。然后使

$d u = 2 x d x$ ，以便

$\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用

$u$ 和

$d$

$u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设

$u = 1 + x^{2}$ 。求

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对

$1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则，

$1 + x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5.1.3

因为

$1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$1$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 5.1.5

将

$0$ 和

$2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 5.2

使用

$u$ 和

$d u$ 重写该问题。

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将

$\frac{1}{u}$ 乘以

$\frac{1}{2}$ 。

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 6.2

将

$2$ 移到

$u$ 的左侧。

$arccot (x) x + \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 7

由于

$\frac{1}{2}$ 对于

$u$ 是常数，所以将

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 8

$\frac{1}{u}$ 对

$u$ 的积分为

$\ln (| u |)$ 。

$arccot (x) x + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 9

化简。

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 10

使用

$1 + x^{2}$ 替换所有出现的

$u$ 。

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

微积分学 示例

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