微积分学示例

$π \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 1

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (x)$ 的形式。

$π \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$π (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $π$ 。

$\frac{π}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{π}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 7

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 7.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 7.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 7.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 8

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

解题步骤 10

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $x$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

解题步骤 11.2

计算 $\sin (u)$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

解题步骤 11.3

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

解题步骤 12.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

解题步骤 12.3

将 $\sin (2 π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

解题步骤 12.4

组合 $\sin (2 π)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

解题步骤 13.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π}{2} (π - \frac{0}{2})$

解题步骤 13.2

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{π}{2} (π - 0)$

解题步骤 13.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π}{2} (π + 0)$

解题步骤 13.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{2} π$

解题步骤 13.5

乘以 $\frac{π}{2} π$ 。

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解题步骤 13.5.1

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $π$ 。

$\frac{π π}{2}$

解题步骤 13.5.2

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{π^{1} π}{2}$

解题步骤 13.5.3

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{π^{1} π^{1}}{2}$

解题步骤 13.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{π^{1 + 1}}{2}$

解题步骤 13.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{π^{2}}{2}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π^{2}}{2}$

小数形式：

$4.93480220 \dots$

微积分学 示例

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