微积分学示例

$y = {(3 x + 4)}^{2} {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{2} {(2 x - 5)}^{3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(3 x + 4)}^{2}$ 重写为 $(3 x + 4) (3 x + 4)$ 。

$\frac{d}{d x} [(3 x + 4) (3 x + 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 x + 4) (3 x + 4)$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x + 4) + 4 (3 x + 4)) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x + 4)) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.3.1.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.3.1.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 12 x + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.3.1.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 12 x + 16) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.3.2

将 $12 x$ 和 $12 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{3}]$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$ 且 $g (x) = {(2 x - 5)}^{3}$ 。

$(9 x^{2} + 24 x + 16) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{3}] + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 x - 5$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 5$ 。

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.5.3

使用 $2 x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (3 {(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.6

求微分。

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解题步骤 3.6.1

将 $3$ 移到 $9 x^{2} + 24 x + 16$ 的左侧。

$3 \cdot (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5] + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.6.2

根据加法法则， $2 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.6.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.6.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.6.6

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} (2 + 0) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.6.7

化简表达式。

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解题步骤 3.6.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} \cdot 2 + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.6.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

解题步骤 3.6.8

根据加法法则， $9 x^{2} + 24 x + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 3.6.9

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 3.6.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 3.6.11

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 3.6.12

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 3.6.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 3.6.14

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24 + \frac{d}{d x} [16])$

解题步骤 3.6.15

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24 + 0)$

解题步骤 3.6.16

将 $18 x + 24$ 和 $0$ 相加。

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

运用分配律。

$(6 (9 x^{2}) + 6 (24 x) + 6 \cdot 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

解题步骤 3.7.2

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$(54 x^{2} + 6 (24 x) + 6 \cdot 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

解题步骤 3.7.3

将 $24$ 乘以 $6$ 。

$(54 x^{2} + 144 x + 6 \cdot 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

解题步骤 3.7.4

将 $6$ 乘以 $16$ 。

$(54 x^{2} + 144 x + 96) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

解题步骤 3.7.5

从 $(54 x^{2} + 144 x + 96) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$ 中分解出因数 ${(2 x - 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.5.1

从 $(54 x^{2} + 144 x + 96) {(2 x - 5)}^{2}$ 中分解出因数 ${(2 x - 5)}^{2}$ 。

${(2 x - 5)}^{2} (54 x^{2} + 144 x + 96) + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

解题步骤 3.7.5.2

从 ${(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$ 中分解出因数 ${(2 x - 5)}^{2}$ 。

${(2 x - 5)}^{2} (54 x^{2} + 144 x + 96) + {(2 x - 5)}^{2} ((2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.5.3

从 ${(2 x - 5)}^{2} (54 x^{2} + 144 x + 96) + {(2 x - 5)}^{2} ((2 x - 5) (18 x + 24))$ 中分解出因数 ${(2 x - 5)}^{2}$ 。

${(2 x - 5)}^{2} (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.6

将 ${(2 x - 5)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 。

$(2 x - 5) (2 x - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.7

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 。

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解题步骤 3.7.7.1

运用分配律。

$(2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.7.2

运用分配律。

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.7.3

运用分配律。

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.7.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.8.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.8.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.8.1.2.1

移动 $x$ 。

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.8.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.8.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.8.1.4

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$(4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.8.1.5

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.8.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.8.2

从 $- 10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.9

化简每一项。

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解题步骤 3.7.9.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 5) (18 x + 24)$ 。

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解题步骤 3.7.9.1.1

运用分配律。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 x (18 x + 24) - 5 (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.9.1.2

运用分配律。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x + 24))$

解题步骤 3.7.9.1.3

运用分配律。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

解题步骤 3.7.9.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.7.9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.9.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

解题步骤 3.7.9.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.9.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

解题步骤 3.7.9.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

解题步骤 3.7.9.2.1.3

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 36 x^{2} + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

解题步骤 3.7.9.2.1.4

将 $24$ 乘以 $2$ 。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 36 x^{2} + 48 x - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

解题步骤 3.7.9.2.1.5

将 $18$ 乘以 $- 5$ 。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 36 x^{2} + 48 x - 90 x - 5 \cdot 24)$

解题步骤 3.7.9.2.1.6

将 $- 5$ 乘以 $24$ 。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 36 x^{2} + 48 x - 90 x - 120)$

解题步骤 3.7.9.2.2

从 $48 x$ 中减去 $90 x$ 。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 36 x^{2} - 42 x - 120)$

解题步骤 3.7.10

将 $54 x^{2}$ 和 $36 x^{2}$ 相加。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (90 x^{2} + 144 x + 96 - 42 x - 120)$

解题步骤 3.7.11

从 $144 x$ 中减去 $42 x$ 。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (90 x^{2} + 102 x + 96 - 120)$

解题步骤 3.7.12

从 $96$ 中减去 $120$ 。

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (90 x^{2} + 102 x - 24)$

解题步骤 3.7.13

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 x^{2} - 20 x + 25) (90 x^{2} + 102 x - 24)$ 。

$4 x^{2} (90 x^{2}) + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14

化简每一项。

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解题步骤 3.7.14.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \cdot 90 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.14.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 \cdot 90 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \cdot 90 x^{2 + 2} + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4 \cdot 90 x^{4} + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.3

将 $4$ 乘以 $90$ 。

$360 x^{4} + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.4

使用乘法的交换性质重写。

$360 x^{4} + 4 \cdot 102 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.14.5.1

移动 $x$ 。

$360 x^{4} + 4 \cdot 102 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.14.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$360 x^{4} + 4 \cdot 102 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$360 x^{4} + 4 \cdot 102 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$360 x^{4} + 4 \cdot 102 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.6

将 $4$ 乘以 $102$ 。

$360 x^{4} + 408 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.7

将 $- 24$ 乘以 $4$ 。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.8

使用乘法的交换性质重写。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 \cdot 90 x \cdot x^{2} - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.14.9.1

移动 $x^{2}$ 。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 \cdot 90 (x^{2} x) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.9.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.14.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 \cdot 90 (x^{2} x^{1}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 \cdot 90 x^{2 + 1} - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.9.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 \cdot 90 x^{3} - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.10

将 $- 20$ 乘以 $90$ 。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.11

使用乘法的交换性质重写。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 20 \cdot 102 x \cdot x - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.12

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.14.12.1

移动 $x$ 。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 20 \cdot 102 (x \cdot x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.12.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 20 \cdot 102 x^{2} - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.13

将 $- 20$ 乘以 $102$ 。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 2040 x^{2} - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.14

将 $- 24$ 乘以 $- 20$ 。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 2040 x^{2} + 480 x + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.15

将 $90$ 乘以 $25$ 。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 2040 x^{2} + 480 x + 2250 x^{2} + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.16

将 $102$ 乘以 $25$ 。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 2040 x^{2} + 480 x + 2250 x^{2} + 2550 x + 25 \cdot - 24$

解题步骤 3.7.14.17

将 $25$ 乘以 $- 24$ 。

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 2040 x^{2} + 480 x + 2250 x^{2} + 2550 x - 600$

解题步骤 3.7.15

从 $408 x^{3}$ 中减去 $1800 x^{3}$ 。

$360 x^{4} - 1392 x^{3} - 96 x^{2} - 2040 x^{2} + 480 x + 2250 x^{2} + 2550 x - 600$

解题步骤 3.7.16

从 $- 96 x^{2}$ 中减去 $2040 x^{2}$ 。

$360 x^{4} - 1392 x^{3} - 2136 x^{2} + 480 x + 2250 x^{2} + 2550 x - 600$

解题步骤 3.7.17

将 $- 2136 x^{2}$ 和 $2250 x^{2}$ 相加。

$360 x^{4} - 1392 x^{3} + 114 x^{2} + 480 x + 2550 x - 600$

解题步骤 3.7.18

将 $480 x$ 和 $2550 x$ 相加。

$360 x^{4} - 1392 x^{3} + 114 x^{2} + 3030 x - 600$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 360 x^{4} - 1392 x^{3} + 114 x^{2} + 3030 x - 600$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 360 x^{4} - 1392 x^{3} + 114 x^{2} + 3030 x - 600$

微积分学 示例

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