微积分学示例

$\int {(x^{2} + x)}^{10} (2 x + 1) d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + x$ 。然后使 $d u = (2 x + 1) d x$ ，以便 $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{10} d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u^{10}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{11} u^{11}$ 。

$\frac{1}{11} u^{11} + C$

解题步骤 3

使用 $x^{2} + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{11} {(x^{2} + x)}^{11} + C$

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