微积分学示例

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{1}{x}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ ，以便 $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{1}{x}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{1}{x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

解题步骤 2.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{u}$ 。

$\int - e^{u} u d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int e^{u} u d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = e^{u}$ 。

$- (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

解题步骤 5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- (u e^{u} - (e^{u} + C))$

解题步骤 6

化简。

$- (u e^{u} - e^{u}) + C$

解题步骤 7

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $e^{\frac{1}{x}}$ 。

$- (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - - e^{\frac{1}{x}} + C$

解题步骤 8.3

乘以 $- - e^{\frac{1}{x}}$ 。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} + C$

解题步骤 8.3.2

将 $e^{\frac{1}{x}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} + C$

微积分学 示例

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